اكتشف الباحثون طريقة عالمية لعكس الدورانات المعقدة للأجسام عن طريق تكبير الحركة وتكرارها مرتين. هذا الاكتشاف، الذي ينطبق على الدورانات والكيوبيت والأذرع الروبوتية، يعتمد على خصائص فضاء الدوران ثلاثي الأبعاد. الدليل يمكن أن يساعد في مجالات مثل التصوير الطبي والروبوتات.
تخيل دوران قمة من خلال سلسلة من الالتواءات ورغبتك في إعادتها بدقة إلى وضعيتها الأولية دون إعادة تتبع كل خطوة بالضبط. أثبت علماء الرياضيات جان بيار إكمان في جامعة جنيف في سويسرا وتسفي تلوستي في معهد أولسان الوطني للعلوم والتكنولوجيا في كوريا الجنوبية أن هذا ممكن لكل شيء تقريباً يدور.
يستلزم طريقتهم تكبير جميع زوايا الدوران بعامل مشترك وتكرار التسلسل المكبر مرتين، مما يعيد تعيين الجسم إلى أصله بفعالية. على سبيل المثال، إذا دارت القمة ثلاثة أرباع دورة، فإن تكبيرها إلى ثُمن وتكرارها مرتين يضيف الربع الدورة اللازم لإكمال العكس.
يستمد الدليل من هيكل SO(3)، الفضاء الرياضي لجميع الدورانات الممكنة في ثلاثة أبعاد، الذي يشبه كرة. يبدأ مسار دوران معقد في مركز الكرة وينتهي في مكان آخر؛ عكسه يعني العودة إلى المركز. وجد الباحثون أن التكبير والتكرار مرتين يستغل هندسة الكرة، حيث تهبط العكس في منتصف الطريق على السطح—مجموعة واسعة من النقاط أسهل في الاستهداف من المركز الواحد.
دمج إكمان وتلوستي صيغة رودريغيز من القرن التاسع عشر للدورانات المتتالية مع نظرية أعداد من عام 1889 ليظهروا أن عامل التكبير موجود دائماً تقريباً، بعد استكشاف العديد من المسارات المسدودة.
"إنها في الواقع خاصية لكل شيء تقريباً يدور، مثل الدوران أو الكيوبيت أو الجيروسكوب أو الذراع الروبوتية"، يقول تلوستي. "إذا [مر الجسم] عبر مسار شديد التعقيد في الفضاء، فقط بتكبير جميع زوايا الدوران بنفس العامل وتكرار هذه المسار المعقد مرتين، يعودون إلى الأصل."
تشمل الآثار العملية الرنين المغناطيسي النووي (NMR)، الأساس للتصوير بالرنين المغناطيسي، حيث يمكن للتقنية تصحيح الدورانات غير المرغوب فيها أثناء التصوير. في الروبوتات، تقترح جوزي هيوز في المدرسة الاتحادية للبوليتكنيك في لوزان أنها تمكن من تسلسلات إعادة تعيين الدوران اللامتناهية للروبوتات المتدحرجة أو المتحولة. "تخيل لو كان لدينا روبوت يمكنه التحول بين أي شكل جسم صلب، يمكنه ثم اتباع أي مسار مرغوب ببساطة من خلال تحول الشكل"، تقول هي.
يظهر العمل في Physical Review Letters (DOI: 10.1103/xk8y-hycn)، مما يبرز عمق الرياضيات في المجالات المألوفة مثل الدورانات.