Pesquisadores descobriram uma forma universal de reverter rotações complexas de objetos escalando o movimento e repetindo-o duas vezes. Essa descoberta, aplicável a giros, qubits e braços robóticos, baseia-se em propriedades do espaço de rotação tridimensional. A prova pode auxiliar campos como imagem médica e robótica.
Imagine girar um pião através de uma série de torções e querer devolvê-lo precisamente à sua posição inicial sem refazer cada passo exatamente. Os matemáticos Jean-Pierre Eckmann, da Universidade de Genebra, na Suíça, e Tsvi Tlusty, do Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Ulsan, na Coreia do Sul, provaram que isso é possível para quase qualquer objeto rotativo.
O método deles envolve escalar todos os ângulos de rotação por um fator comum e repetir a sequência escalada duas vezes, reinicializando efetivamente o objeto à sua origem. Por exemplo, se um pião for rotacionado em três quartos de volta, escalá-lo para um oitavo e repeti-lo duas vezes adiciona o quarto de volta necessário para completar a reversão.
A prova baseia-se na estrutura do SO(3), o espaço matemático de todas as rotações possíveis em três dimensões, que se assemelha a uma bola. Um caminho de rotação complexo começa no centro da bola e termina em outro lugar; desfazê-lo significa retornar ao centro. Os pesquisadores descobriram que escalar e repetir duas vezes explora a geometria da bola, onde a reversão pela metade aterrissa na superfície—um vasto conjunto de pontos mais fácil de mirar do que o único centro.
Eckmann e Tlusty combinaram a fórmula de Rodrigues do século XIX para rotações sucessivas com um teorema de teoria dos números de 1889 para mostrar que o fator de escala quase sempre existe, após explorar muitos caminhos sem saída.
"É na verdade uma propriedade de quase qualquer objeto que rotaciona, como um giro ou um qubit ou um giroscópio ou um braço robótico", diz Tlusty. "Se [objetos] passarem por um caminho altamente convoluto no espaço, apenas escalando todos os ângulos de rotação pelo mesmo fator e repetindo essa trajetória complicada duas vezes, eles simplesmente retornam à origem."
As implicações práticas incluem ressonância magnética nuclear (RMN), fundamental para a RM, onde a técnica poderia corrigir rotações de giro indesejadas durante a imagem. Na robótica, Josie Hughes, da Escola Politécnica Federal de Lausanne, sugere que ela permite sequências infinitas de reinicialização de rolagem para robôs rolantes ou morphing. "Imagine se tivéssemos um robô que pudesse morphar entre qualquer forma de corpo sólido, ele poderia então seguir qualquer caminho desejado simplesmente através do morphing da forma", diz ela.
O trabalho aparece em Physical Review Letters (DOI: 10.1103/xk8y-hycn), destacando a profundidade da matemática em áreas familiares como rotações.