研究者らが、運動をスケーリングして2回繰り返すことでオブジェクトの複雑な回転を逆転させる普遍的な方法を発見した。この発見は、スピン、量子ビット、ロボットアームに適用可能で、3次元回転空間の性質に依存する。この証明は、医療画像診断やロボット工学などの分野を支援する可能性がある。
こまを一連のねじれで回転させ、各ステップを正確に遡ることなく、正確に起始位置に戻したいと想像してください。スイスのジュネーブ大学のジャン＝ピエール・エックマン氏と韓国蔚山科学技術院のツヴィ・トルスティ氏の数学者らは、ほぼすべての回転物体でこれが可能であることを証明しました。
彼らの方法は、すべての回転角度を共通の係数でスケーリングし、スケーリングされたシーケンスを2回繰り返すことで、オブジェクトを効果的に原点にリセットします。例えば、こまが3/4回転された場合、それを1/8にスケーリングして2回繰り返すことで、逆転を完了するための必要な1/4回転が追加されます。
この証明は、3次元でのすべての可能な回転の数学的空間であるSO(3)の構造に基づいており、これは球に似ています。複雑な回転経路は球の中心から始まり、他所で終わります。それを元に戻すとは中心に戻ることです。研究者らは、スケーリングと2回の繰り返しが球の幾何学を活用することを発見し、半分の逆転は表面に着地します。これは単一の中心よりも狙いやすい広大な点の集合です。
エックマン氏とトルスティ氏は、19世紀の連続回転のためのロドリゲス公式と1889年の数論定理を組み合わせ、多くの行き止まり経路を探求した後、スケーリング係数がほぼ常に存在することを示しました。
「これは、スピンや量子ビット、ジャイロスコープ、ロボットアームのような、回転するほぼすべての物体の性質です」とトルスティ氏は述べます。「[物体]が空間で高度に複雑な経路をたどる場合、すべての回転角度を同じ係数でスケーリングし、この複雑な軌跡を2回繰り返すだけで、単に原点に戻ります。」
実際の応用には、MRIの基礎である核磁気共鳴（NMR）が含まれ、画像診断中の望ましくないスピン回転を修正する可能性があります。ロボット工学では、ローザンヌ連邦工科大学のジョージー・ヒューズ氏は、これが転がりや形態変化ロボットのための無限のロールリセットシーケンスを可能にすると提案します。「どんな固体形状の間でも形態変化できるロボットがあったら、形状の形態変化だけで任意の望ましい経路を追うことができると想像してください」と彼女は言います。
この研究はPhysical Review Lettersに掲載（DOI: 10.1103/xk8y-hycn）され、回転のような馴染みのある領域における数学の深みを強調しています。