Des chercheurs ont découvert une façon universelle d'inverser les rotations complexes d'objets en échelonnant le mouvement et en le répétant deux fois. Cette découverte, applicable aux spins, qubits et bras robotiques, repose sur les propriétés de l'espace de rotation tridimensionnel. La preuve pourrait aider des domaines comme l'imagerie médicale et la robotique.
Imaginez faire tourner un toupie à travers une série de torsions et vouloir la ramener précisément à sa position de départ sans refaire chaque étape exactement. Les mathématiciens Jean-Pierre Eckmann de l'Université de Genève en Suisse et Tsvi Tlusty de l'Institut national des sciences et technologies d'Ulsan en Corée du Sud ont prouvé que cela est possible pour presque tout objet rotatif.
Leur méthode consiste à échelonner tous les angles de rotation par un facteur commun et à répéter la séquence échelonnée deux fois, réinitialisant efficacement l'objet à son origine. Par exemple, si une toupie est rotée de trois quarts de tour, l'échelonner à un huitième et le répéter deux fois ajoute le quart de tour nécessaire pour compléter l'inversion.
La preuve s'appuie sur la structure de SO(3), l'espace mathématique de toutes les rotations possibles en trois dimensions, qui ressemble à une boule. Un chemin de rotation complexe commence au centre de la boule et se termine ailleurs ; l'annuler signifie revenir au centre. Les chercheurs ont trouvé que l'échelonnement et la répétition deux fois exploitent la géométrie de la boule, où l'inversion à mi-chemin atterrit sur la surface—un vaste ensemble de points plus facile à cibler que le centre unique.
Eckmann et Tlusty ont combiné la formule de Rodrigues du XIXe siècle pour les rotations successives avec un théorème de théorie des nombres de 1889 pour montrer que le facteur d'échelonnement existe presque toujours, après avoir exploré de nombreux chemins sans issue.
"C'est en fait une propriété de presque tout objet qui tourne, comme un spin ou un qubit ou un gyroscope ou un bras robotique", dit Tlusty. "Si [les objets] traversent un chemin hautement convoluté dans l'espace, simplement en échelonnant tous les angles de rotation par le même facteur et en répétant cette trajectoire compliquée deux fois, ils reviennent simplement à l'origine."
Les implications pratiques incluent la résonance magnétique nucléaire (RMN), fondamentale pour l'IRM, où la technique pourrait corriger les rotations de spin indésirables pendant l'imagerie. En robotique, Josie Hughes de l'École polytechnique fédérale de Lausanne suggère qu'elle permet des séquences infinies de réinitialisation de roulis pour les robots roulants ou morphing. "Imaginez si nous avions un robot capable de morpher entre n'importe quelle forme de corps solide, il pourrait alors suivre n'importe quel chemin désiré simplement par morphing de la forme", dit-elle.
Le travail paraît dans Physical Review Letters (DOI: 10.1103/xk8y-hycn), soulignant la profondeur des mathématiques dans des domaines familiers comme les rotations.