Forskare har upptäckt ett universellt sätt att vända komplexa rotationer av objekt genom att skala rörelsen och upprepa den två gånger. Detta fynd, som är tillämpligt på spinn, qubits och robotarmar, bygger på egenskaper hos tredimensionellt rotationsutrymme. Beviset kan gynna områden som medicinsk bildbehandling och robotik.
Tänk dig att snurra en snurra genom en serie vridningar och vilja återföra den exakt till sin startposition utan att spåra varje steg exakt. Matematikerna Jean-Pierre Eckmann vid University of Geneva i Schweiz och Tsvi Tlusty vid Ulsan National Institute of Science and Technology i Sydkorea har bevisat att detta är möjligt för nästan alla roterande objekt.
Deras metod innebär att skala alla rotationsvinklar med en gemensam faktor och upprepa den skalade sekvensen två gånger, vilket effektivt återställer objektet till sitt ursprung. Till exempel, om en snurra roteras tre fjärdedelar av ett varv, skala den till en åttondel och upprepa två gånger lägger till den nödvändiga fjärdedelsvarvet för att slutföra reverseringen.
Beviset bygger på strukturen hos SO(3), det matematiska utrymmet för alla möjliga rotationer i tre dimensioner, som liknar en boll. En komplex rotationsbana börjar i bollens centrum och slutar någon annanstans; att ångra den betyder att återvända till centrum. Forskare fann att skalning och upprepning två gånger utnyttjar bollens geometri, där halvägs reversering landar på ytan—en vidsträckt uppsättning punkter som är lättare att sikta på än det enda centrumet.
Eckmann och Tlusty kombinerade Rodrigues formel från 1800-talet för successiva rotationer med ett talteoriteorem från 1889 för att visa att skalningsfaktorn nästan alltid existerar, efter att ha utforskat många återvändsgränder.
"Det är faktiskt en egenskap hos nästan alla objekt som roterar, som en spinn eller en qubit eller ett gyroskop eller en robotarm", säger Tlusty. "Om [objekt] går genom en högt konvoluterad bana i rymden, bara genom att skala alla rotationsvinklar med samma faktor och upprepa denna komplicerade bana två gånger, återvänder de bara till ursprunget."
Praktiska implikationer inkluderar kärnmagnetisk resonans (NMR), grundläggande för MRI, där tekniken kan korrigera oönskade spinnrotationer under bildbehandling. Inom robotik föreslår Josie Hughes vid Federal Polytechnic School of Lausanne att det möjliggör oändliga rull-återställningssekvenser för rullande eller morphing-roboter. "Tänk om vi hade en robot som kunde morph mellan vilken fast kroppsform som helst, den kunde då följa vilken önskad bana som helst enbart genom morphing av form", säger hon.
Arbetet publiceras i Physical Review Letters (DOI: 10.1103/xk8y-hycn), och belyser matematikens djup i välkända områden som rotationer.